Unavoidable trees and forests in graphs

Classic results from extremal graph theory state that if certain graphs are made large enough, unavoidable substructures appear. Here we will cover this type of problem for specific graphs when these substructures are certain trees or forests. After giving a summary on related results, the following two extremal main problems are presented: For a given family of same-order trees including the star and the path, how large can a tree be that contains none of them as subtree? We show that this value depends heavily on the number of spiders in the family: For a family of k-vertex trees consisting of p spiders and a constant number of non-spiders, we construct a tree of size 2 log p−1 k) containing no trees from this family, and show that all asymptotically larger trees do contain some of them. Here logp−1 denotes the (p− 1)-times-iterated logarithm. For a balanced black-white-coloring of the complete bipartite graph Kn,n, we examine the size of the largest fork forest contained as subgraph. A fork is a path of length 2 consisting of a black and a white edge. It is shown that there are at least (1− 1 √ 2 )n vertexdisjoint forks all centered in the same partite set, and this is best possible, confirming a conjecture by Tverentina et al. An efficient algorithm finding the largest number is presented. Zusammenfassung Bekannte Resultate aus der extremalen Graphentheorie besagen, dass wenn bestimmte Graphen groß genug gemacht werden, unvermeidbare Strukturen auftreten. Hier werden wir dieses Problem für spezielle Graphen betrachten, wenn die Strukturen bestimmte Bäume oder Wälder sind. Nach einem Überblick über verwandte Resultate werden die folgenden zwei Hauptprobleme präsentiert: Für eine gegebene Familie von Bäumen gleicher Größe, die Stern und Pfad beinhaltet, wie groß kann ein Baum sein, der keinen Baum aus der Familie als Unterbaum enthält? Wir zeigen, dass dieser Wert stark von der Anzahl der Spinnen in der Familie abhängt: Für eine Familie von k-Knoten–Bäumen, bestehend aus p Spinnen und einer konstanten Anzahl an Nicht–Spinnen, konstruieren wir einen Baum der Größe 2 log p−1 , der keinen Baum von der Familie enthält, und zeigen, dass alle asymptotisch größeren Bäume einen davon enthalten müssen. Hier ist logp−1 der (p− 1)-Mal iterierte Logarithmus. Für eine balancierte Schwarz–Weiß–Färbung des vollständigen bipartiten Graphen Kn,n untersuchen wir die Größe des größten Gabelwaldes, der als Untergraph enthalten ist. Eine Gabel ist ein Pfad der Länge 2 bstehend aus einer schwarzen und einer weißen Kante. Es wird gezeigt, dass es mindestens (1 − 1 √ 2 )n knoten-disjunkte Gabeln, die alle in der gleichen Hälfte des bipartiten Graphen zentriert sind, gibt, und dass dies bestmöglich ist, was eine Vermutung von Tverentina et al. bestätigt. Ein effizienter Algorithmus, der die größte Anzahl findet, wird vorgestellt. Acknowledgements I would like to express my deepest gratitude to my advisor from the faculty of mathematics, Prof. Maria Axenovich, for giving me perspective and guiding me into the intricacies of graph theory, for her advice on my research and interesting discussions, for being available for my inquiries even on short notice, her advice and assistance for my future endeavors, and her overall kindness. I would furthermore like to profusely thank my advisor from the faculty of computer science, Dr. Ignaz Rutter, for his support and advice on my research and for insightful discussions, and Prof. Dorothea Wagner for giving me the chance to write this thesis for computer science at her institute and agreeing to review my thesis. For our joint research work I would like to thank again Prof. Maria Axenovich, Dr. Ignaz Rutter and Dr. Marcus Krug, and I would also like to thank Olga Tverentina for making us aware of the problem about fork forests. Finally, I would like to say thanks to my colleagues from the graph theory seminar for their useful feedback on my presentation, especially Daniel Hoske for helping with proofreading.